范式分解专题

第一题：基础线性依赖（理解 3NF 保持依赖与 BCNF 的一致性）

题目： 关系模式 $R(A, B, C, D)$，函数依赖集 $F = {A \rightarrow B, B \rightarrow C, C \rightarrow D}$。

【答案与解析】

候选码：$A$（只有 $A$ 能推导出全部属性）。
3NF 分解（合成法）：
1. $F$ 本身就是最小依赖集。
2. 合成：$R_1(A, B)$，$R_2(B, C)$，$R_3(C, D)$。
3. 无损连接检查：候选码 $A$ 已包含在 $R_1$ 中。
4. 结果：${R_1(A, B), R_2(B, C), R_3(C, D)}$。
BCNF 分解（分解法）：
1. $B \rightarrow C$ 违反 BCNF（$B$ 不是码）。拆分 $R$ 为：$R_1(B, C)$ 和 $R_{rest}(A, B, D)$。
2. 在 $R_{rest}$ 中，$C \rightarrow D$ 丢失了，但原依赖中 $B \rightarrow C$ 且 $C \rightarrow D \Rightarrow B \rightarrow D$。考察 $R_{rest}$ 上的依赖：$A \rightarrow B$ 和 $B \rightarrow D$。
3. $B \rightarrow D$ 违反 BCNF。拆分 $R_{rest}$ 为：$R_2(B, D)$ 和 $R_3(A, B)$。
4. 结果：${R_1(B, C), R_2(B, D), R_3(A, B)}$。
- 注：此题 BCNF 和 3NF 结果在逻辑上是等价的。

题目： 关系模式 $R(S, T, C)$（学生, 教师, 课程），函数依赖集 $F = {(S, C) \rightarrow T, T \rightarrow C}$。

【答案与解析】

候选码：$(S, C)$ 和 $(S, T)$。
3NF 分解：
1. 左部 $T$ 决定右部 $C$，$C$ 是主属性（候选码 $(S, C)$ 的一部分）。
2. 根据 3NF 定义，由于 $C$ 是主属性，即使 $T$ 不是码，$T \rightarrow C$ 也不违反 3NF。
3. 结果：$R$ 本身就已经是 3NF，无需分解。
BCNF 分解：
1. 检查 $T \rightarrow C$：决定因素 $T$ 不是码，违反 BCNF。
2. 拆分：$R_1(T, C)$，$R_2(S, T)$（保留决定因素 $T$）。
3. 结果：${R_1(T, C), R_2(S, T)}$。
- 代价：原函数依赖 $(S, C) \rightarrow T$ 丢失了。

题目： 关系模式 $R(A, B, C, D)$，函数依赖集 $F = {A \rightarrow B, B \rightarrow C, A \rightarrow C, D \rightarrow A}$。

【答案与解析】

候选码：$D$。
3NF 分解：
1. 求最小依赖集：$A \rightarrow C$ 是冗余的（可以通过 $A \rightarrow B, B \rightarrow C$ 推出），删掉。得到 $G = {A \rightarrow B, B \rightarrow C, D \rightarrow A}$。
2. 合成：$R_1(A, B)$，$R_2(B, C)$，$R_3(D, A)$。
3. 无损检查：候选码 $D$ 在 $R_3$ 中。
4. 结果：${R_1(A, B), R_2(B, C), R_3(D, A)}$。
BCNF 分解：
1. $A \rightarrow B$ 违反 BCNF（$A$ 不是码）。拆：$R_1(A, B)$，$R_{rem}(A, C, D)$。
2. 在 $R_{rem}$ 中，$A \rightarrow C$（由于 $A \rightarrow B, B \rightarrow C$ 推导出）违反 BCNF。拆：$R_2(A, C)$，$R_3(A, D)$。
3. 结果：${R_1(A, B), R_2(A, C), R_3(A, D)}$。

题目： 关系模式 $R(A, B, C, D, E)$，函数依赖集 $F = {A \rightarrow B, C \rightarrow D, AC \rightarrow E}$。

【答案与解析】

候选码：$AC$（$A, C$ 只出现在左边，必须是码）。
3NF 分解：
1. $F$ 已经是最小依赖集（没有冗余属性，没有冗余依赖）。
2. 合成：根据 $A \rightarrow B$ 得到 $R_1(A, B)$；根据 $C \rightarrow D$ 得到 $R_2(C, D)$；根据 $AC \rightarrow E$ 得到 $R_3(A, C, E)$。
3. 无损检查：候选码 $AC$ 在 $R_3$ 中，满足。
4. 结果：${R_1(A, B), R_2(C, D), R_3(A, C, E)}$。
BCNF 分解：
1. 找出违反项：$A \rightarrow B$（$A$ 不是码）。
2. 第一次拆分：$R_1(A, B)$，$R_{rest}(A, C, D, E)$。
3. 检查 $R_{rest}$：$C \rightarrow D$ 违反 BCNF（$C$ 在 $R_{rest}$ 中不是码，$AC$ 才是）。
4. 第二次拆分：$R_2(C, D)$，$R_3(A, C, E)$。
5. 检查 $R_3$：只有 $AC \rightarrow E$，决定因素 $AC$ 是码，满足 BCNF。
6. 结果：${R_1(A, B), R_2(C, D), R_3(A, C, E)}$。
- 注：在这个例子中，两种算法殊途同归。